Apply time/space/condition/sca…

# 准稳态近似（QSSA）简化成果

一、示例体系设定

取可逆一级反应 A ⇌ B：

• 正反应速率常数 k₊ = 10 s⁻¹ → 正向时间常数 τ₊ = 1/k₊ = 0.1 s（快模态）
• 逆反应速率常数 k₋ = 10⁻³ s⁻¹ → 逆反应时间常数 τ₋ = 1/k₋ = 1000 s（慢模态）

动力学方程（c_B 为关注组分，C_total = c_A + c_B 守恒）：

dc_B/dt = k₊c_A − k₋c_B

二、时间尺度分离判据

分离度 ε = τ₊/τ₋ = 0.1/1000 = 10⁻⁴ ≪ 1，快慢模态解耦充分，QSSA成立。

三、准稳态简化

1. 快模态（0~0.1 s）：逆反应可忽略，B由A快速生成，B浓度在 t ≈ 3τ₊ = 0.3 s 内达到“准平衡层”。

2. 慢模态（t ≫ τ₊）：快变量被“钳制”在局部平衡：

• 令 dc_B/dt ≈ 0 → k₊c_A^* = k₋c_B^* → c_B^* = (k₊/k₋)c_A^\* = 10⁴·c_A^*
• 代入守恒：c_A^* ≈ C_total/(1+10⁴) ≈ 10⁻⁴·C_total，c_B^* ≈ 0.9999·C_total

3. 降阶方程（慢动力学）：有效速率常数 k_eff = k₋ = 10⁻³ s⁻¹：

dc_B/dt ≈ k₋(C_total − c_B)，即 c_B(t) ≈ C_total[1 − e^(−t/1000)]（t > 0.3 s后有效）。

四、误差量级估计

• QSSA首阶误差 ∝ ε = τ₊/τ₋ = O(10⁻⁴)，即约0.01%相对误差；
• 慢模态起始时刻需扣除 t_offset ≈ 3τ₊ = 0.3 s（瞬态误差为O(1)但仅存在于初始0.1~0.3 s）；
• 稳态c_B偏差精确值：|c_B^QSSA − c_B^exact| = 10⁻⁴·C_total，与估计一致；
• 若要求误差<1%，QSSA适用范围可信；若需<10⁻⁵精度，需保留一阶修正项 −ε·dc_B/dt。

五、结论

降阶为单变量ODE：dc_B/dt = 10⁻³(C_total − c_B)，数值计算步长可从0.01 s放宽至10 s量级，加速约1000倍，稳态误差O(10⁻⁴)。